韓国数学オリンピック第33回(2020年9月12日実施)のオイラー部の問題と解答の和訳です。
オイラー部
問題
1．三角形ABCにおいてAB=ACであり，∠B=40°である。辺BC上の点Dを∠ADC=120°になるようにとり，各Cの二等分線と辺ABの交点をEとする。∠DECは何度か。
2．係数がすべて整数である一次関数y=f(x)が次の2つの条件を満たす。
(f∘f)(0)=4²-1
(f∘f∘…∘f)(0)=4²⁰²⁰-1 (fが2020個)
このとき|f(100)|の値で可能なものすべての和を求めよ。
3．三角形ABCの辺BCの中心をMとして，辺BCの垂直二等分線と辺ACの交点をDとする。BD:DA=1:3，MD=√2，AB=2√11であるとき，BC²の値を求めよ。
4．正の整数nにたいして√nに最も近い整数をaₙとする，次の等式を満たす正の整数mを求めよ
5．次の2つの条件をすべて満たす集合の順序対(A，B，C，D)の個数を求めよ
(1)A⊂B⊂C⊂D⊂{1，2，3，4}
(2)B≠C
6．実数係数の9次多項式P(x)がk=1，2，…，10にたいしてP(k)=(k+1)²/kを満たす時，12P(12)の値を求めよ。
7．正四角形ABCDにおいてAB=5，BC=3である。辺BC上の点BA=BEになるようにとる。三角形ABEの内接円の半径をa+b√10とするとき，60(a+b)の値を求めよ。(ただし，a，bは有理数)
8．次を満たす正の整数の順序対(m，n)に対してmnの最小値を求めよ。
と
は相異なる奇素数
9．一桁の数2，3，4，5，6，7，8を円形に配列するとき，隣の二数の積がすべて偶数になるように配列する場合の数は？
10．恒等式が相異なる2つの解を持つようにする9以下の正の整数の順序対(a，b,c)の個数を求めよ。
11．一辺の名g差が5である正四角形ABCDの対角線BD上にBE=ABとなるように点Eをとる。直線AEに垂直であり点Bを通る直線と直線CEの交点をPとするとき，PA²+PB²の値を求めよ。
12．正の定数x=10¹⁰とy=10⁶に対して，2ˣ-2と2ʸ-2の最大公約数を1000で割ったあまりを求めよ。
13．集合X={1，2，3，4，5，6}に対して次の二つの条件を満たす関数f:X→Xの個数を求めよ。
(1)任意のn∈Xに対し，f(1)+f(2)+…+f(n)は偶数である。
(2)f(1)+f(2)+f(3)とf(1)+f(2)+…f(6)は両方3の倍数ではない。
14．次の二つの条件を満たす整数の順序対(x，y)の個数を求めよ。
y(x²+253)-x(y²+253)=253，x>y
15．三角形ABCの点AにおいてBCに引いた垂線の足をHとする。線分AH上の点Xを通りBCに平行な直線がAB，ACと交わる点をそれぞれD，Cとする。線分DCがAH，EHと交わる点をそれぞれY，Zとする。AD=10，DX=6，BH=9，XE=3であり，四角形XYZEの面積をSとするとき，70Sの値を求めよ。
16．正の整数x，yに対して
がとりうる整数値の中で最も大きいものを求めよ。
17．相異なるスプーンが6個ある。スプーンの上部3組を結び赤い紐で繋げ，下部の3組を結び青ひもで繋げたところ，スプーンと紐が交互に1つの繋がった形になったという。こうなるように紐で接続する場合の数は？
18．正の整数の集合ℕにおいて定義された関数f:ℕ→ℕはすべての正の整数nに対してf(f(x))=n+2を満たす。f(201)の値となりうるすべての正の整数の和を求めよ。
19．二等辺三角形ABCでAB=AC=20，BC=30である。線分ACのA側の延長線上にAD=60になるように点Dをとり，線分ABのB側の延長線上にBE=80になるように点Eをとる。線分AEの中点Fと三角形CDEの重心Gを結んだ直線FGと∠DAEの二等分線が交わる点をKとするとき，6GKの値を求めよ。
20．次の2つの条件を満たす正の整数nをすべて加えた値を求めよ。
(1)n=2ᵏ(p₁p₂…pₘ)(ただし，pᵢは相異なる奇素数，k∈{0，1，2，3}，m≧1)
(2)nのすべての約数の和がnの倍数
21．集合X={1，2，3}に対して次の2つの条件を満たす関数の順序対(f，g)の個数を求めよ。
(1)fとgはXへの関数である。
(2){(f∘g)(x)|x∈X}={1，2}
22．正の実数a，b，c，dがa≧b≧cと4(a+b)≦9(c+d)を満たす時，36(c/a+d/b)の最小
値を求めよ。
23．三角形ABCにおいて∠B=45°，∠C=60°，BC=20である。辺BCを直径とする円が辺AB，ACと交わる点をそれぞれD(≠B)，E(≠C)とし，線分BD，BE，CE，CDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする。長方形PQRSの面積をa+b√3とするとき，a+bの値を求めよ。(ただし，a，bは有理数)
24．次の2つの条件を満たす整数の順序対(x，y)の数を求めよ。
(1)1≦x≦1000，1≦y≦1000
(2)は整数である。
25．図のように81個の単位正方形からなる図形がある。
この図形上の100個の点のそれぞれに赤，オレンジ，黄，青の内一つの色を塗るとき，次の条件を満たす場合の数を1000で割った余りを求めよ。
(条件)それぞれの単位正方形の四つの頂点はすべて異なる色であるか，すべて同じ色である。
解答
1．10
2．808
3．12
4．151
5．369
6．158
7．90
8．48
9．144
10．504
11．50
12．374
13．324
14．6
15．360
16．503
17．120
18．406
19．80
20．154
21．144
22．28
23．25
24．900
25．268
